問題

収束する数列は有界であることを示せ。

方針

数列が収束するということに関しては、しっかりと分かっているということを前提に書いていこうと思います。

さて、数列 $\{ a_n \}$ が有界であるということの定義を確認しましょう。

定義: ある $R \in \mathbb{R}$ が存在して、任意の $n \in \mathbb{N}$ に対して $|a_n| \leq R$ 　
となるとき、数列 $\\{ a_n \\}$ は有界であるという。

つまり、具体的にある実数Rを用意して、それがどんな $a_n$ よりも大きくなっていることを示せばいいわけです。

ここで収束することから、任意の $\varepsilon > 0$ に対して、ある $N \in \mathbb{N}$ が存在して $n \geq N$ ならば $|a_n - \alpha| \lt \varepsilon$ となっています。

このようなNより大きいnに対しては

$|a_n| - |\alpha| \leq |a_n - \alpha| \lt \varepsilon$

より、

$|a_n| \lt |\alpha| + \varepsilon \ \ (=(定数))$

がわかります。

Nより小さいnに関しては有限個の数列なので $a_1, \cdots ,a_N$ で一番大きいものを取ってこればいいわけです。

解答

収束する数列 $\{ a_n\}$ に対して、方針で登場した $N,\varepsilon$ を考える。

$R \in \mathbb{R}$ として $R={\rm max} \{ |a_1|,|a_2|, \cdots |a_N|, |\alpha|+\varepsilon \}$ を用意すると、任意の $n \in \mathbb{N}$ に対して

$|a_n| \leq R$

となっていることから示せた。

2018-05-31

「像(Image) 」よくわからないやつらPart 1

今回とりあつかうのは像(image)です。最初に出てくるのは、線形代数で線形写像について習うときだと思います。

像とは？

まずは定義の紹介です。

定義(像)　写像 $f:V \rightarrow W$ にたいして $W$ の部分集合 $\{ f(v) \in W | v \in V \}$ を $f$ の像と呼び ${\rm Im}(f)$ で表す。

よく見るイメージ図です。 f:id:bossdb66:20180529012625p:plain

この図、写像を扱うときよく出てくる図です。でもこれ、正直わかりにくい...。

まず、 $f$ は集合 $V$ から集合 $W$ への写像、つまり対応づけを定めています。このとき $V$ の元に対してはすべて何かしらの $W$ の元が対応付けられています。

いいかえると、すべての $v \in V$ に対して $f(v)=w \in W$ があります。（当たり前じゃん、て思う方は大丈夫です。）これは写像の定義ですね。

ですが、 $w \in W$ に対して、対応づけられているような $v \in V$ が必ず存在するとは限りません。つまり、 $w=f(v)$ をみたす $v \in V$ が存在しないような $w \in W$ が上の図の ${\rm Im}(f)$ の外側の白い部分に入っているわけです。