解析学収束する数列は有界 - 数学を小並例で解説するブログ

収束する数列は有界であることを示せ。

数列が収束するということに関しては、しっかりと分かっているということを前提に書いていこうと思います。

さて、数列 $\{ a_n \}$ が有界であるということの定義を確認しましょう。

定義: ある $R \in \mathbb{R}$ が存在して、任意の $n \in \mathbb{N}$ に対して $|a_n| \leq R$ 　
となるとき、数列 $\\{ a_n \\}$ は有界であるという。

つまり、具体的にある実数Rを用意して、それがどんな $a_n$ よりも大きくなっていることを示せばいいわけです。

ここで収束することから、任意の $\varepsilon > 0$ に対して、ある $N \in \mathbb{N}$ が存在して $n \geq N$ ならば $|a_n - \alpha| \lt \varepsilon$ となっています。

このようなNより大きいnに対しては

$|a_n| - |\alpha| \leq |a_n - \alpha| \lt \varepsilon$

より、

$|a_n| \lt |\alpha| + \varepsilon \ \ (=(定数))$

がわかります。

Nより小さいnに関しては有限個の数列なので $a_1, \cdots ,a_N$ で一番大きいものを取ってこればいいわけです。

収束する数列 $\{ a_n\}$ に対して、方針で登場した $N,\varepsilon$ を考える。

$R \in \mathbb{R}$ として $R={\rm max} \{ |a_1|,|a_2|, \cdots |a_N|, |\alpha|+\varepsilon \}$ を用意すると、任意の $n \in \mathbb{N}$ に対して

$|a_n| \leq R$

となっていることから示せた。